Si el valor maximín
del primer jugador es igual al mínimax del
segundo jugador, entonces el juego es de estrategia
pura (existe un punto de silla de montar). El valor
del juego para el primer jugador es su valor maximín.
Ejemplo 2:
Dos gasolineras se encuentran una frente a la otra.
Los consumidores
están pendientes del precio y cada gasolinera
debe decidir si cobra un precio alto o uno bajo. La
matriz de recompensas es la siguiente:
Resolviendo y aplicando
los criterios maximín y minimax:
Dado que el valor
maximín del primer jugador es igual al mínimax
del segundo jugador, entonces el juego es de estrategia
pura (existe un punto de silla de montar). Ambos ugadores
escogen bajar sus precios. El valor del juego para
el primer jugador es 0 y para el segundo jugador también.
Juegos
de estrategia mixta:
Los juegos de estrategia
mixta no tienen un punto de silla de montar (el valor
minimax de un jugador no es igual al maximín
del otro).
Ejemplo 3:
Suponga el siguiente juego:
Resolviendo y aplicando
los criterios maximín y minimax:
Se observa que el
valor minimax de un jugador 2 no es igual al maximín
del jugador 1. El jugador 2selecciona la estrategia
A y el jugador 1 la estrategia X.
Juegos con
Pagos Cualitativos:
En muchas ocasiones
la variable considerada no es cuantitativa, sino cualitativa.
Este podría ser el caso de considerar, por
ejemplo, la satisfacción que se obtiene al
consunir un bien. Una alternativa en estos casos es
emplear alguna escala subjetiva para asignar algún
valor a cada resultado.
Ejemplo 4:
Gerardo desea ir
a pasear con su novia, Andrea, pero el prefiere la
playa y ella la montaña. Ambos obtendrán
distintos niveles de satisfacción en cada caso.
Si están tratando de tomar la decisión
podrían idear una escala para asignar un cierto
grado de satisfacción y luego tomar la decisión:
Estrategias
Dominates:
Se dice que una estrategia
domina a otra, si todos los resultados de esta estrategia
son preferibles a los resultados de la otra estrategia,
independientemente de lo que haga el oponente. Si
cada jugador tiene una estrategia dominante es posible
predecir el resultado del juego.
Ejemplo 5:
Observe la siguiente matriz de resultados:
Independientemente
de lo que haga el Jugador 1, para el jugador 2 siempre
será preferible la estrategia X. Se dice que
la estrategia X domina a la estrategia Y. el jugador
2 nunca escogerá la estrategia Y.
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Equilibrios
de estrategia dominante y Equilibrio de Nash:
Existe un equilibrio
de estrategia dominante cuando hay una estrategia
dominante para cada jugador. El equilibrio de Nash
fue formulado en 1951 por el matemático norteamericano
John Nash. Existe un equilibrio de Nash cuando se
presenta un par de estrategias (a*, b*) en un juego
de dos jugadores, en las que a* es una estrategia
óptima para A frente a la estrategia b* y b*
es una estrategia óptima para B frente a la
estrategia a*. El equilibrio de Nash se diferencia
del equilibrio de las estrategias dominantes en que,
en el equilibrio de las estrategias dominantes, se
exige que la estrategia de A sea óptima en
el caso de todas las elecciones óptimas de
B, y viceversa. El equilibrio de Nash es menos restrictivo:
el equilibrio se da si A representa la mejor estrategia
del jugador 1 cuando el jugador 2 juega B, y B representa
la mejor estrategia de 2 cuando 1 juega A.
Si el equilibrio
de Nash está presente en un juego, aún
cuando uno de los jugadores revele la estrategia que
uilizará, el hecho de conocerla no beneficia
al otro. Esto no sucede igualmente en estrategias
de no equilibrio, pues si uno de los jugadores sabe
cuál será la estrategia del otro, puede
beneficiarse de ese conocimiento y tomar ventaja e
incluso perjudicar al otro jugador (Nicholson, 2001).
Un juego puede tener más de un equilibrio de
Nash así como también existen juegos
en los no existe un equilibrio de Nash.
Ejemplo 6:
Retomando el ejemplo del dilema de los prisioneros,
cuya matriz de recompensas se muestra a continuación:
Este caso del dilema
de los prisioneros permite ejemplificar un juego sin
transferencia de utilidad, ya que los prisioneros
no pueden comunicarse y llegar a acuerdos previos.
De igual manera evidencia la presencia de estrategias
en equilibrio pues la mejor estrategia para ambos
sería no confesar, de modo que alcanzaran el
mejor resultado posible (maximización de su
utilidad) pues tendrían que cumplir una condena
de tan sólo 1 año, sin embargo, está
no es la estrategia óptima para cada jugador
de manera individual (equilibrio de Nash), ya que
no puede estar completamente seguro de la decisión
que tomará el otro. Así, Bam Bam sabe
que si Tres Pelos confiesa el delito, entonces sería
mejor confesar ya que la pena de 3 años es
menor que la pena de 10 años, y si Tres Pelos
negara el crimen, entonces también sería
mejor confesar ya que la pena de 1 año es preferible
a la de 2 años. De ese modo, Bam Bam decide
confesar. Analizando de modo similar para Tres Pelos,
este también decide confesar.
En otras palabras,
se dice que un conjunto de estrategias constituye
un equilibrio de Nash si, manteniendo constantes las
estrategias de los demás jugadores, ningún
jugador puede obtener recompensa mayor eligiendo una
estrategia distinta. Esto quiere decir que, en un
equilibrio de Nash, ningún jugador quiere cambiar
su estrategia, porque está empleando su mejor
respuesta (aquella que maximiza su beneficio dadas
sus creencias sobre las estrategias de sus rivales).
Muchas veces en un
equilibrio de Nash la suma de los beneficios de los
jugadores no es el máximo (como en el caso
del dilema de los prisioneros). Esto se da, principalmente,
en los juegos de un único período, debido
a la falta de confianza entre los jugadores.
Aplicaciones
en economía:
La Teoría
de Juegos presenta aplicaciones directas en Economía.
Tal como lo establece Felipe Costales (2000) esta
ciencia se ocupa de la distribución de recursos
escasos por lo que, si los recursos son escasos es
porque hay más gente que los quiere de la que
puede llegar a tenerlos. Este panorama proporciona
todos los ingredientes necesarios para un juego.
Aunque los economistas
siempre han tenido sustentos sobre la teoría
de juegos, sólo podían analizar juegos
particularmente simples debido a la falta de información
e instrumentos. Esta deficiencia fue solucionada con
los aportes de Von Neumann y Morgenstern. Esto explica
por qué el monopolio y la competencia perfecta
se consideran más simples que todas las demás
variedades de competencia imperfecta que se dan entre
estos dos extremos. El monopolio es considerado simple
desde el punto de vista de la Teoría de Juegos
porque puede ser tratado como un juego con un único
jugador. En cuanto a la competencia perfecta se considera
simple debido a que el número de jugadores
es ilimitado, de manera que cada agente individual
no es capaz de influir sobre el mercado si actúa
individualmente.
Por otro lado, se
pueden aplicar los fundamentos de la teoría
de juegos para comprender cómo se fijan los
precios en los oligopolios, en los cuales los resultados
que obtiene cada empresa no dependen sólo de
su decisión sino también de las decisiones
de los competidores. El problema al que se enfrenta
cada empresario implica una elección estratégica
que puede ser analizada mediante la teoría
de juegos. Para ejemplificar esta aplicación
en la vida real Coll (2000) expone el siguiente caso:
Ejemplo 7:
Dos empresas constituyen un duopolio local en el sector
de los grandes almacenes. Cuando llega la época
de las tradicionales rebajas, ambas empresas acostumbran
a realizar inversiones en publicidad tan altas que
pueden implicar la pérdida de todo el beneficio.
Este año se han puesto de acuerdo y han decidido
no hacer publicidad, por lo que cada una, si cumple
el acuerdo, puede obtener unos beneficios en la temporada
de $50 millones. Sin embargo una de ellas puede preparar
en secreto su campaña publicitaria y lanzarla
en el último momento con lo que conseguiría
atraer a todos los consumidores. Sus beneficios en
ese caso serían de $75 millones mientras que
la empresa competidora perdería $25 millones.
Si ambas incumplen el acuerdo obtendrán beneficio
$0. La matriz de recompensas es:
Este caso al igual
que el dilema del prisionero muestra las dificultades
para establecer la colaboración en cualquier
situación en la que hacer trampa beneficia
a las partes.
Este ejemplo es ideal
para demostrar las situaciones en la que los equilibrios
competitivos pueden llevar a resultados ineficientes.
Ilustra la situación que motica la existencia
de cárteles. En un cártel, las empresas
se coalicionan (hacen un acuerdo de colusión)
para, generalmente, reducir su producción y
así poder aumentar el precio y a la vez sus
beneficios (aunque el acuerdo puede ser sobre otros
aspectos). Sin embargo, cada empresa por su parte
tiene incentivos que las tientan a producir más
de lo que fijaba el acuerdo y así vender más
de lo acordado a los altos precios que resultan de
los cárteles, para de ese modo obtener mayores
beneficios. Pero, si cada una de las firmas hace lo
mismo, el precio va a disminuir, lo que resultará
en menores beneficios para cada una (Nicholson, 2001).
Cuando el juego se
puede repetir sucesivamente (múltiples períodos)
entonces es más probable lograr un acuerdo
de colusión. En un juego con múltiples
períodos, cada empresa puede influir sobre
el comportamiento de su rival mediante la señalización
o la amenaza de un castigo. Aun así, esto no
garantiza que la colusión tenga éxito,
ya que por ejemplo, en un juego de n períodos,
los jugadores estarán interesados en cumplir
las reglas hasta el período n-1, pues en el
último período la amenaza de castigo
no tendría sentido. La mayor parte de los carteles
fracasan, ya que muchos gobiernos los prohíben
o porque sus miembros hacen trampa.
¿Cómo
opera un cartel y cómo obtiene sus ganancias?
Ejemplo 8:
Suponga que se tiene dos empresas A y B que producen
un bien X. Ambas operan en condiciones de competencia
y sus estructuras de costos son exactamente iguales,
según lo muestra el gráfico:
Obsérvese
que en condiciones competitivos el mercado fija el
precio de ¢10 por unidad, para una producción
total de 200 unidades, repartidas por partes iguales
entre las dos empresas. Bajo estas circunstancias
los beneficios de cada una son nulos.
Las empresas deciden
realizar un acuerdo de colusión, ya que podrían
elevar el precio si restringen la oferta. Decide que
, actuando como monopolio deberían producir
120 unidades (CM = IM), las cuales producirán
60 cada empresa y a un precio de ¢15 cada una.
Así, cada empresa logra producir sus 60 unidades
a un costo medio de ¢13 cada una y obtiene, en
consecuencia, un beneficio total de ¢120.
Sin embargo, es
evidente que el acuerdo de colusión pactado
lleva implícito un incentivo a incumplir el
acuerdo, es decir, hacer trampa. Si la empresa A decidiera
hacer trampa y produjera 100 unidades, reduciría
sus costos medios a ¢10 y obtendría una
ganancia mayor. En estas condiciones la empresa A
produce 100 unidades y la empresa B produce 60 (cumple
el acuerdo). La producción total es de 160
unidades y el precio baja a ¢12,5. La empresa
A obtiene un beneficio total de ¢250
BT = Q(P - CMe) =
100 (12,5 - 10) = 250
Y la empresa B obtiene
una pérdida de ¢30:
BT = Q(P - CMe) =
60 (12,5 - 13) = -30
Ahora bien, esta
situación podría llevar a ambas empresas
a hacer trampa, es decir, cada una produce 100 unidades,
para una producción total de 200 unidades,
lo que reduce el precio a ¢10 por unidad y se
obtiene el mismo resultado que en competencia, beneficios
totales nulos.
Los resultados pueden
ser resumidos en la siguiente matriz de recompensas.
El equilibrio de
Nash de dicho juego es que cada empresa haga trampa
y por tanto el cartel fracasa.
El Premio
Nobel en Economía 2005: Robert J. Aumann y
Thomas C. Schelling
En las relaciones
económicas son muy frecuentes las situaciones
en las que, al igual que en los juegos, su resultado
depende de la conjunción de decisiones de diferentes
participantes o jugadores. La evidencia más
reciente de la aplicación de esta teoría
en la realidad actual y mundial, se muestra en los
trabajos de los economistas ganadores del Premio Nobel
de Economía 2005, el cual fue otorgado al matemático
israelí Robert J. Aumann y al economista estadounidense
Thomas C. Schelling por utilizar la "Teoría
de juegos" para explicar y facilitar la resolución
de conflictos. Su trabajo ayudó a entender
y resolver todo tipo de conflictos, desde las disputas
comerciales, el crimen organizado, las decisiones
políticas y las negociaciones salariales, hasta
las guerras y la discriminación racial y sexual.
David Leal (2005)
destaca que, los aportes en el terreno económico
de ambos expertos contribuyeron a explicar las guerras
comerciales y de precios entre empresas, y las ventajas
de la cooperación en relaciones a largo plazo.
Según Coll (2001), la teoría de juegos
ha alcanzado un alto grado de sofisticación
matemática y ha mostrado versatilidad en la
solución de problemas, lo que se ha puesto
en evidencia con los aportes de estos investigadores
recién premiados. Por ejemplo, durante la Guerra
Fría, que enfrentó a Estados Unidos
con la Unión Soviética, Schelling utilizó
los métodos de esta teoría para explicar
los temas más importantes de la época,
la seguridad global y la carrera armamentista que
se había desatado. Además demostró
que la capacidad de tomar represalias puede ser más
útil que simplemente resistir un ataque, y
que una amenaza imprecisa es más eficaz que
una concreta, pues es mejor que el enemigo no sepa
cómo será la venganza. Todo esto resultó
de gran relevancia para la resolución de conflictos
y los esfuerzos tendientes a evitar la guerra.
Por su parte, Aumann
fue un pionero en el análisis de los llamados
"juegos de repetición infinita",
para explicar en qué condiciones resulta ventajosa
la cooperación de grupos o personas. Además
aplicó los métodos de la teoría
para hallar las diferentes alternativas a que podría
recurrir un país contra su enemigo en tiempos
de conflicto, demostrando que la opción de
la cooperación, en vez de la de la guerra,
es más fácil de conseguir en las relaciones
duraderas que en encuentros aislados. El análisis
de Aumann explica por qué, cuando los actores
solo pueden tener en cuenta el corto plazo, se cae
en conflictos como las así llamadas guerras
de precios o guerras comerciales, determinando que
la cooperación suele ser normalmente "una
solución de equilibrio" (la solución
óptima para las dos partes y no solo para una)
en juegos repetitivos a largo plazo entre grupos que,
a corto plazo, tienen fuertes conflictos de intereses
(Fonseca, 2005).
Referencias
biliográficas:
